style: experiment*

始

2023/9/10

最初の投稿

定理

experiment: math

以下の設定を考える。

$d$ は平方因子をもたない整数。
$a, b$ は互いに素な 2 つの整数の組。

このとき、次の環同型が存在する。

\Z[\sqrt{d}]/(a + b\sqrt{d}) \cong \Z/(a^2 - db^2)\Z.

$b = 0$ なら $a = 1, -1$ であり、この場合明らかに主張の同型が成り立つ。よって $b \neq 0$ と仮定する。
$A \coloneqq \Z[\sqrt{d}]/(a + b\sqrt{d})$ とおく。 $\Z[\sqrt{d}] \cong \Z[x]/(x^2 - d)$ より $A \cong \Z[x]/(x^2 - d, a + bx)$ である。
$\Z[x]/(a + bx) \cong \Z\left[\frac{a}{b}\right]$ であり、設定 2 より $\Z\left[\frac{a}{b}\right] \cong \Z\left[\frac{1}{b}\right]$ である。
- $am + bn = 1$ なる整数 $m, n$ が存在するから $m\frac{a}{b} + n = \frac{1}{b}$ .
段階 2, 3 より $A \cong (\Z/(a^2 - db^2)\Z)\left[\frac{1}{b}\right]$ である。
$b \in \Z/(a^2 - db^2)\Z$ が可逆であることと、 $b$ と $a^2 - db^2$ が互いに素であることは同値である。
1. $b$ と $a^2 - db^2$ が共通の素因数 $p$ をもつなら、ある整数 $c_1, c_2$ が存在して $b = c_1 p,\ a^2 - db^2 = c_2 p$ とかける。
2. この 2 式より $a^2 = p(c_1^2 pd + c_2)$ を得る。これは $a$ が $p$ で割り切れることを導き、設定 2 に矛盾する。
段階 4, 5 より $A \cong \Z/(a^2 - db^2)\Z$ である。これが所望の結果であった。 $\Box$

そのとき汽車はだんだん川からはなれていました。

すきとおった硝子のような声が、銀河ステーションと言う声がしたというふうでした。星々は夜空に点滅し、銀河の中に輝く宇宙船のようでした。車窓から広がる風景は、未知の冒険への扉を開けるかのように神秘的でした。

その汽車は時間と空間を越えて、新たな世界へと向かっているように感じられました。窓ガラスには雨粒が優雅に舞い、銀色の光を放つ駅の看板が汽車の通過を告げていました。銀河ステーションへの旅路は、夢と現実の境界を曖昧にし、魔法のような瞬間に満ちていました。

車内では、旅人たちが互いに微笑み合い、物語を語り合っていました。その一瞬、時間は凍りつき、過去と未来が交差するときであり、銀河の中での冒険が始まる瞬間でした。汽車の揺れる音楽が、星座の歌と共に鳴り響き、我々は夜空の果てへと向かって、新しい章を迎えるのでした。

雪

experiment: any

白き雪片、空に舞う細き氷の花。大地を覆い尽くし、自然界に静寂と美をもたらす氷の贈り物。冷徹な寒さの中で、雪は大地を包み込み、風景を魔法のように変える。森の木々は重さに屈し、屋根は銀の帽子をかぶる。一面の雪原は、時間の止まったような幻想的な風景を描き出す。雪の下に潜む世界もまた魅力的である。地下の生命は、この氷の掩護の下で静かに生き続け、春の訪れを待つ。雪の下に眠る種子たちは、新しい命への希望を秘めている。そして、雪解け水は清らかで澄んだ流れを作り出し、大地に生命を注ぐ。

そうして、誰の声もすぐ止みました。

その瞬間、森の奥深くで響く微かな音が私の耳に届きました。それはまるで自然そのものが語りかけてくるかのような、静かな囁きでした。

森の中を進むと、小川のほとりに立派な古代の樫の木がそびえていました。その幹には魔法の言葉が刻まれており、葉っぱは秘密の言葉を歌っていました。私は静かに木のそばに立ち、その言葉を聞き入りました。

すると、樫の木は言葉を紡ぎだしました。「旅人よ、汝の心は冒険を求め、真実を探しに来たのだろう。汝の運命は星座の下に描かれており、森の奥深くに秘められた答えを見つけるのは、この瞬間だけだ。」

私は木に向かって頭を下げ、言葉に従って、星座の光の導きを信じ、森の奥深くへと足を踏み入れました。冒険の始まりは、この魔法の森の中で待っているようで、私の心は新たな世界への興奮と希望に満ちていました。

\begin{CD} \mathbf{A} @>>> \mathbf{X} \\ @V\textrm{cof.}VV {}^\exists \nearrow @VV\textrm{fib.}V \\ \mathbf{B} @>>> \mathbf{Y} \end{CD}

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